Question

4．設M{a，b，c}=$\left\{\begin{array}{l}{a，b，c的中位數(shù)，（a-b）（b-c）（c-a）≠0}\\{a，b，c的眾數(shù)，（a-b）（b-c）（c-a）=0}\end{array}\right.$，若f（x）=M{2^x，x²，4-7.5x}（x＞0），則f（x）的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 對分段函數(shù)分類討論，當（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）=0時，f（x）=2^x，x²，4-7.5x眾數(shù)，分別求解，得出f（x）的最小值是；
做出函數(shù)y=2^x，y=x²，y=4-7.5x的圖象，利用數(shù)學結合得出當（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）≠0時，f（x）=2^x，x²，4-7.5x的中位數(shù)范圍．

解答 解：由題意，f（x）=M{2^x，x²，4-7.5x}，
當（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）≠0時，
f（x）=2^x，x²，4-7.5x的中位數(shù)，
當（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）=0時，
f（x）=2^x，x²，4-7.5x眾數(shù)，
令（2^x-x²）（x²-4+7.5x）（4-7.5x-2^x）=0，
若2^x=x²，則x=2或4，
若x²=4-7.5x，則x=-8（舍去）或$\frac{1}{2}$，
若2^x=4-7.5x，
令g（x）=2^x-4+7.5x，
∵g（0）=1-4+0=-3＜0，g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$-4+3.75＞0，
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$）；
∴（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）=0時，f（x）=$\frac{1}{4}$
當（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）≠0時，f（x）=2^x，x²，4-7.5x的中位數(shù)，
由右側圖象可知：中位數(shù)都大于$\frac{1}{4}$，
故選A．

點評 本題考查了新定義函數(shù)和分段函數(shù)的處理．難點是利用數(shù)學結合解決實際問題．