Question

2．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，并且S₁₀＞0，S₁₁＜0，關于數列{a_n}有下列命題：
（1）公差d＜0，首項a₁＞0；
（2）S₆最大；
（3）a₃＞0；
（4）a₆＞0
上述命題正確的是（1），（3）．

Answer 1

分析 由題意求得a₆＜0，a₅＞0，且a₅＞|a₆|．然后逐一判斷四個選項得答案．

解答 解：在等差數列{a_n}中，由S₁₀＞0，S₁₁＜0，
得$\frac{10（{a}_{1}+{a}_{10}）}{2}=5（{a}_{5}+{a}_{6}）＞0$，$\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}=11{a}_{6}＜0$，
∴a₆＜0，a₅＞0，且a₅＞|a₆|．
則數列{a_n}為遞減數列，且a₁＞0，則（1）正確；
∵數列前5項為正，自第6項起為負，則S₅最大，（2）錯誤；
a₃＞0，（3）正確；a₆＜0，（4）錯誤．
故答案為：（1），（3）．

點評 本題考查等差數列的前n項和，考查了等差數列的性質，是中檔題．