Question

如圖1，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

 

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】

試題分析：（1）取EC的中點(diǎn)為N，則MN平行且等于CD的一半，由AB平行且等于CD的一半及平行公理知，NM平行且等于AB，所以ABNM是平行四邊形，所以AM平行BN，所以AM平行面BEC；（2）由面ADEF⊥面ADCB及DE⊥AD，面面垂直性質(zhì)定理知，DE⊥面ADCB，所以AD⊥BC，通過(guò)計(jì)算及勾股定理可知DB⊥BC，由線面垂直的判定定理可得BC垂直面DBE；（3）先算出三棱錐E-DBC的體積及三角形EBC的面積，再利用三棱錐E-DCB的體積與三棱錐D-EBC的體積相等即可求出點(diǎn)D到面BEC的距離.

試題解析：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．

在△中，分別為的中點(diǎn)，

所以∥，且．

由已知∥，，

所以∥，且． 3分

所以四邊形為平行四邊形．

所以∥． 4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720473871767851/SYS201411172047471398905793_DA/SYS201411172047471398905793_DA.018.png">平面，且平面，

所以∥平面． 4分

（2）證明：在正方形中，．

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720473871767851/SYS201411172047471398905793_DA/SYS201411172047471398905793_DA.021.png">平面，且平面平面，

所以平面．

所以． 6分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，， ．

所以．

所以平面． 8分

（3）由（2）知，

所以 又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720473871767851/SYS201411172047471398905793_DA/SYS201411172047471398905793_DA.027.png">平面

又= 10分

所以，D到面BEC的距離為 12分

考點(diǎn):空間線面平行的判定與性質(zhì)，空間面面垂直性質(zhì)定理，線面垂直的判定與性質(zhì)，三棱錐的體積公式，轉(zhuǎn)化思想，空間想象能力，推理論證能力