Question

判斷函數f（x）=-x²+xlnx的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：先求出f′（x）f′（x）_max=f′（1）=0，從而f′（x）＜0，得函數f（x）在定義域內遞減；

解答： 解：∵f（x）=-x²+xlnx，
∴函數的定義域為（0，+∞）
∴f′（x）=-2x+1+lnx，
設g（x）=-2x+1+lnx，
∴g′（x）=-2+

1

x

令g′（x）=0，解得x=

1

2

當g′（x）＞0時，即0＜x＜

1

2

，函數g（x）單調遞增，
當g′（x）＜0時，即x＞

1

2

，函數g（x）單調遞減，
∴當x=

1

2

，函數有最大值，g（x）_max=g（

1

2

）=ln

1

2

＜0，
∴f′（x）＜0，
∴函數f（x）=-x²+xlnx在（0，+∞）上單調遞減

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性和最值，要求學生掌握導函數的正負與函數單調性的關系，即當導函數值大于0時，函數單調遞增；當導函數小于0時，函數單調遞減．