15.如圖,有一壁畫,最高點(diǎn)A處離地面AO=4m,最低點(diǎn)B處離地面BO=2m,觀賞它的C點(diǎn)在過(guò)墻角O點(diǎn)與地面成30°角的射線上.
(1)設(shè)點(diǎn)C到墻的距離為x,當(dāng)x=$\sqrt{3}$m時(shí),求tanθ的值;
(2)問(wèn)C點(diǎn)離墻多遠(yuǎn)時(shí),視角θ最大?

分析 (1)過(guò)C作CD⊥AO,垂足為D,則θ=∠ACD-∠BCD,利用差角的正切公式,求tanθ的值;
(2)利用差角的正切公式,我們可以求得tanθ,利用基本不等式可得結(jié)論.

解答 解:(1)作CD⊥AO于D,則$CD=x=\sqrt{3}$,
在直角△CDO中,$DO=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x=1$,…(2分)
$tan∠BCD=\frac{BO-OD}{CD}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$,$tan∠ACD=\frac{AO-OD}{CD}=\sqrt{3}$,
因∠BCD,∠ACD都為銳角,所以∠BCD=30°,∠ACD=60°,…(4分)
所以$tanθ=tan{30^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$;…(6分)
(2)設(shè)∠BCD=α,∠ACD=β.作如下規(guī)定:
當(dāng)D點(diǎn)在B點(diǎn)下方時(shí)α為正,當(dāng)D點(diǎn)在B點(diǎn)上方時(shí)α為負(fù),當(dāng)D點(diǎn)與B重合時(shí)α為零.類似地β也如此規(guī)定.
于是有$α,β∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2})$,θ=β-α,…(8分)
$tanα=\frac{BO-OD}{CD}=\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}$,$tanβ=\frac{AO-OD}{CD}=\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}$…(10分)
$tanθ=tan(β-α)=\frac{tanβ-tanα}{1+tanβ•tanα}$=$\frac{{\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}-\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}}}{{1+\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}•\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}}}$=$\frac{2}{{\frac{4}{3}x+\frac{8}{x}-2\sqrt{3}}}$…(12分)$≤\frac{2}{{2\sqrt{\frac{4}{3}x•\frac{8}{x}}-2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{4\sqrt{2}-3}}$…(14分)
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{3}x=\frac{8}{x}$,$x=\sqrt{6}$時(shí)tanθ最大,從而θ最大,此時(shí)C點(diǎn)離墻$\sqrt{6}m$.…(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題以實(shí)際問(wèn)題為載體,考查差角的正切函數(shù)公式,考查基本不等式的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是利用差角的正切函數(shù)公式構(gòu)建函數(shù)模型.

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