分析 (1)運(yùn)用求解導(dǎo)數(shù)得出f′(x)=$\frac{1}{x}$+2ax,x>0,判斷(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)單調(diào)遞增,($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)單調(diào)遞減,
得出f(x)極大值=f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$,無極小值.
(2)構(gòu)造g(x)=$\frac{1-x}{a{x}^{2}+1}$,當(dāng)a>0時(shí)g(x)的定義域?yàn)镽,
g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$,g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$=0,x1=1$-\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,x2=1$+\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,
判斷得出g(x)在(-∞,x1)(x2,+∞)單調(diào)遞增,(1,2)單調(diào)遞減,求解得出極值,得出存在常數(shù)M,得出不等式恒成立.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=lnx+ax2+1,
f′(x)=$\frac{1}{x}$+2ax,x>0,
當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)f(x)=lnx-x2+1,
f′(x)=$\frac{1}{x}$-2x,x>0,
∴x∈(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)時(shí),f′(x)>0,
x∈($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)時(shí),f′(x)<0;
∴(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)單調(diào)遞增,($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)單調(diào)遞減,
∴f(x)極大值=f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$,無極小值.
(2)證明:令g(x)=$\frac{1-x}{a{x}^{2}+1}$,當(dāng)a>0時(shí)g(x)的定義域?yàn)镽,
g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$,g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$=0,x1=1$-\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,x2=1$+\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,
g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$>0,x1<1$-\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,x2>1$+\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,
∴g(x)在(-∞,x1)(x2,+∞)單調(diào)遞增,(1,2)單調(diào)遞減,
g(1)=0,當(dāng)x<1時(shí),g(x)>0,
當(dāng)x<1時(shí),0<g(x)<g(x1)
∴當(dāng)x>1時(shí),0<g(x)<g(x2)
記M=max||g(x1)|g(x2)|,
a>0時(shí),當(dāng)λ∈[M,+∞),使得|${\frac{1-x}{f(x)-lnx}}$|≤λ恒成立.
點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)最值,不等式恒成立問題的綜合運(yùn)用,學(xué)生的運(yùn)用算化簡能力,分析問題的能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | B. | C. | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 對任意的點(diǎn)P,都有T(S6(P))=T(P) | |
B. | 至少存在4個(gè)單位圓上的P,使得T(S3(P))=T(P) | |
C. | 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則有T(S(P))=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | |
D. | 對任意的點(diǎn)P,都有T(P)+T(S2(P))+T(S4(P))=0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 相離 | B. | 相交但直線過圓心 | ||
C. | 相切 | D. | 相交但直線不過圓心 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|-1<x<2} | B. | {x|-3<x<3} | C. | {0,1} | D. | {0,1,2} |
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