6.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+1.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),證明:存在正實(shí)數(shù)λ,使得|${\frac{1-x}{f(x)-lnx}}$|≤λ恒成立.

分析 (1)運(yùn)用求解導(dǎo)數(shù)得出f′(x)=$\frac{1}{x}$+2ax,x>0,判斷(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)單調(diào)遞增,($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)單調(diào)遞減,
得出f(x)極大值=f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$,無極小值.
(2)構(gòu)造g(x)=$\frac{1-x}{a{x}^{2}+1}$,當(dāng)a>0時(shí)g(x)的定義域?yàn)镽,
g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$,g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$=0,x1=1$-\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,x2=1$+\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,
判斷得出g(x)在(-∞,x1)(x2,+∞)單調(diào)遞增,(1,2)單調(diào)遞減,求解得出極值,得出存在常數(shù)M,得出不等式恒成立.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=lnx+ax2+1,
f′(x)=$\frac{1}{x}$+2ax,x>0,
當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)f(x)=lnx-x2+1,
f′(x)=$\frac{1}{x}$-2x,x>0,
∴x∈(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)時(shí),f′(x)>0,
x∈($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)時(shí),f′(x)<0;
∴(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)單調(diào)遞增,($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)單調(diào)遞減,
∴f(x)極大值=f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$,無極小值.
(2)證明:令g(x)=$\frac{1-x}{a{x}^{2}+1}$,當(dāng)a>0時(shí)g(x)的定義域?yàn)镽,
g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$,g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$=0,x1=1$-\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,x2=1$+\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,
g′(x)=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{(1+a{x}^{2})^{2}}$>0,x1<1$-\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,x2>1$+\sqrt{1+\frac{1}{a}}$,
∴g(x)在(-∞,x1)(x2,+∞)單調(diào)遞增,(12)單調(diào)遞減,
g(1)=0,當(dāng)x<1時(shí),g(x)>0,
當(dāng)x<1時(shí),0<g(x)<g(x1
∴當(dāng)x>1時(shí),0<g(x)<g(x2
記M=max||g(x1)|g(x2)|,
a>0時(shí),當(dāng)λ∈[M,+∞),使得|${\frac{1-x}{f(x)-lnx}}$|≤λ恒成立.

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)最值,不等式恒成立問題的綜合運(yùn)用,學(xué)生的運(yùn)用算化簡能力,分析問題的能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.已知函數(shù) f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-2x(-1≤x≤0)}\\{\sqrt{x}(0<x≤1)}\end{array}\right.$,則下列圖象正確的是( 。
A.B.C.D.

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8.橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=$\frac{1}{2}$,過F2作x軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),△F1AB的面積為3,拋物線E:y2=2px(p>0)以橢圓C的右焦點(diǎn)F2為焦點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線E的方程;
(Ⅱ)如圖,點(diǎn)$P({-\frac{P}{2},t})({t≠0})$為拋物線E的準(zhǔn)線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,連接PO并延長交拋物線于點(diǎn)N,求證:直線MN過定點(diǎn).

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5.已知函數(shù)f(x)=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$(m,n為常數(shù))是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(-1)=-$\frac{1}{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)解關(guān)于x的不等式f(2x-1)<-f(x).

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1.如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的兩射線l1,l2的夾角為30°,點(diǎn)P先關(guān)于射線l1所在直線對稱,再關(guān)于射線l2所在直線對稱后,得到點(diǎn)Q,記為S(P)=Q,并設(shè)S0(P)=S(P),Sn(P)=S(Sn-1(P)),n∈N*.若點(diǎn)P為角α的終邊上一點(diǎn)(非原點(diǎn)),并記T(P)=sinα,則下列說法錯(cuò)誤的是( 。
A.對任意的點(diǎn)P,都有T(S6(P))=T(P)
B.至少存在4個(gè)單位圓上的P,使得T(S3(P))=T(P)
C.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則有T(S(P))=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.對任意的點(diǎn)P,都有T(P)+T(S2(P))+T(S4(P))=0

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11.對任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx+$\sqrt{3}$與圓x2+y2=4的位置關(guān)系一定是( 。
A.相離B.相交但直線過圓心
C.相切D.相交但直線不過圓心

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18.已知數(shù)列{an}滿足a1=$\frac{1}{2}$,都有an+1=$\frac{1}{3}$an3+$\frac{2}{3}$an,n∈N*
(1)求證:$\frac{1}{2}$•($\frac{2}{3}$)n-1≤an≤$\frac{1}{2}$•($\frac{3}{4}$)n-1,n∈N*
(2)求證:當(dāng)n∈N*時(shí),$\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}$+$\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}$+$\frac{1-{a}_{4}}{1-{a}_{3}}$+…+$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$≥$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+6[1-($\frac{11}{12}$)n].

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15.已知底角為45°的等腰梯形ABCD,底邊BC長為7cm,腰長為2$\sqrt{2}$cm,當(dāng)一條垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí),直線l把梯形分成兩部分,令BF=x,試寫出左邊部分的面積y與x的函數(shù)解析式,并畫出大致圖象.

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16.已知集合A={x∈Z|-1<x<3},B={x∈R|x2+x-6<0},則A∩B=(  )
A.{x|-1<x<2}B.{x|-3<x<3}C.{0,1}D.{0,1,2}

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