分析 (I)求出橢圓的a,b,c,利用橢圓的定義,余弦定理,表示三角形的面積求解即可.
(II)利用橢圓的定義,內(nèi)角平分線定理,即可求解$\frac{AI}{ID}$;
( III)求出圓G方程,設(shè)B(x0,y0),P(x1,y1),(y1≠±y0),則C(x0,-y0),代入圓的方程,求出直線PB的方程,直線PC的方程,求出xM,xN,然后求解$\overrightarrow{GM}•\overrightarrow{GN}$=|xMxN|即可得到結(jié)果.
解答 解:(I)橢圓$\frac{x^2}{48}$+$\frac{y^2}{36}$=1焦點(diǎn)在x軸上,則a=4$\sqrt{3}$,b=6,c=2$\sqrt{3}$,
由橢圓的定義可知:丨PF1丨+丨PF2丨=2a,
由余弦定理可知:4c2=丨PF1丨2+丨PF1丨2-2丨PF1丨•丨PF1丨cos∠F1AF2,
解得:丨PF1丨•丨PF1丨=2•$\frac{^{2}}{1+cos∠{F}_{1}A{F}_{2}}$,
S=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{^{2}}{1+cos∠{F}_{1}A{F}_{2}}$•sin∠F1AF2=b2•$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=12$\sqrt{3}$,
三角形F1AF2的面積12$\sqrt{3}$;
(II)橢圓$\frac{x^2}{48}$+$\frac{y^2}{36}$=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A是橢圓上的一點(diǎn),I是三角形F1AF2內(nèi)切圓的圓心.
因?yàn)锳I平分∠F1AF2,所以根據(jù)三角形的平分線定理,得
$\frac{AI}{ID}$=$\frac{|A{F}_{1}|}{|D{F}_{1}|}$=$\frac{|A{F}_{2}|}{|D{F}_{2}|}$=$\frac{|A{F}_{1}|+|A{F}_{2}|}{|D{F}_{1}|+|D{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{1}{e}$,∴$\frac{AI}{ID}=\frac{1}{e}=2$…..(6分)
( III)由第二小問可知圓I方程為x2+(y-2)2=4,…..(7分)
則圓G方程為x2+y2=4,…..(8分)
設(shè)B(x0,y0),P(x1,y1),(y1≠±y0),則C(x0,-y0),x02+y02=4,x12+y12=4
直線PB的方程為:y-y1=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}(x-{x}_{1})$,
直線PC的方程為:y-y1=$\frac{-{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}(x-{x}_{1})$,
分別令y=0,得xM=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$,xN=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$;
所以$\overrightarrow{GM}•\overrightarrow{GN}$=|xMxN|=$|\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}|$=$|\frac{(4-{{y}_{1}}^{2}){{y}_{0}}^{2}-(4-{{y}_{0}}^{2}){{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}|$=4.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 某校高一(5)班數(shù)學(xué)成績(jī)非常突出的男生能組成一個(gè)集合 | |
B. | 《數(shù)學(xué)1(必修)》課本中所有的難題能組成一個(gè)集合 | |
C. | 性格開朗的女生可以組成一個(gè)集合 | |
D. | 圓心為定點(diǎn),半徑為1的圓內(nèi)的點(diǎn)能組成一個(gè)集合 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{75π}{2}$ | B. | 30π | C. | 43π | D. | 15π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (0,3] | B. | [-1,0) | C. | [-1,3] | D. | (3,4) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [$\frac{5}{3}$,$\frac{8}{3}$] | B. | [2,$\frac{8}{3}$) | C. | [$\frac{5}{3}$,2] | D. | [$\frac{5}{3}$,2) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $-\frac{2}{3}π$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{2}{3}π$ | D. | $-\frac{2}{3}π$或$\frac{π}{3}$ |
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