Question

【題目】在一個十進(jìn)制正整數(shù)中，如果它含有偶數(shù)（包括零）個數(shù)字 8 ，則稱它為“優(yōu)數(shù)” ，否則就稱它為“非優(yōu)數(shù)” .那么，長度（位數(shù)）不超過 （是正整數(shù)）的所有“優(yōu)數(shù)” 的個數(shù)是 __________.

Answer 1

【答案】

【解析】

令長度為的“優(yōu)數(shù)”的個數(shù)是，則.

令≥2，對于，一方面，在長度為的“非優(yōu)數(shù)”的末尾添加數(shù)字8，

就變成長度為的“優(yōu)數(shù)”，且這樣的“優(yōu)數(shù)”有個；

在長度為的“優(yōu)數(shù)”的末尾添加一個非8數(shù)字，就變成長度為的“優(yōu)數(shù)”，

且這樣的“優(yōu)數(shù)”有個.

顯然，這兩類長度為的“優(yōu)數(shù)”不相同（個位數(shù)不同）.

另一方面，反之亦然.這就構(gòu)成一一對應(yīng).

于是，.

即

令，則.

令（為待定的常數(shù)），則

.

令，則，于是，

，

.

故.

所以，長度不超過的所有的“優(yōu)數(shù)” 的個數(shù)是.