Question

3．如圖，橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，點$（\sqrt{3}，\sqrt{2}）$為橢圓上的一點．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線l過點A（0，1），且與橢圓E交于C，D兩點，B為橢圓E的下頂點，求證：對于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1，代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$c=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，∴${a^2}={b^2}+（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a{）^2}$①，
又橢圓過點$（\sqrt{3}，\sqrt{2}）$，∴$\frac{3}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$②
由①②解得a²=6，b²=4，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l：y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$得：（3k²+2）x²+6kx-9=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則有${x_1}+{x_2}=-\frac{6k}{{3{k^2}+2}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{9}{{3{k^2}+2}}$．
易知B（0，-2），
故${k_{BC}}•{k_{BD}}=\frac{{{y_1}+2}}{x_1}•\frac{{{y_2}+2}}{x_2}=\frac{{k{x_1}+3}}{x_1}•\frac{{k{x_2}+3}}{x_2}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+3k（{x_1}+{x_2}）+9}}{{{x_1}{x_2}}}$
=${k^2}+\frac{{3k（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}+\frac{9}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}+3k•\frac{2k}{3}-（3{k^2}+2）=-2$為定值．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題．