Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分線交過點(diǎn)A且與BC平行的直線于D，AC與BD交于點(diǎn)O．
（1）求△OAB與△OBC的面積之比；
（2）求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角平分線定理和三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值；
（2）由等腰三角形的定義和平行線的性質(zhì)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得sin∠BAD=sinC，運(yùn)用余弦定理和同角的平方關(guān)系，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）BD為∠ABC的平分線，
由角平分線定理知：$\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{2}$，
即有$\frac{{{S_{△OAB}}}}{{{S_{△OBC}}}}=\frac{OA}{OC}=\frac{3}{2}$；                                             
（2）由AD∥BC且AB=AC，
可得∠ABC=∠ACB=∠CAD，
即有sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin（∠BAC+∠ABC）=sinC，
在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，
可得$cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2•AC•BC}=\frac{1}{3}$，
即有sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故sin∠BAD的值為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角平分線定理和余弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及同角的平方關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．