Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）已知g（x）=4^x-3•2^x+1，若對(duì)任意的m∈（0，+∞），存在n∈[0，1]，使得f（m）＜g（n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，通過討論①當(dāng)a≥0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分別求出f（x），g（x）的最大值，問題轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，即-1+ln（-

1

a

）＜-1，從而求出a的范圍．

解答： 解（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，x∈（0，+∞），∴f′（x）=a+

1

x

，
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）=a+

1

x

＞0∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=a+

1

x

＞0⇒

1

x

＞-a⇒x＜-

1

a

，
∴f（x）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞增，
綜上：當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0，-

1

a

）；
（Ⅱ）g（x）=4^x-3•2^x+1，x∈[0，1]，令2^x=t∈[1，2]，
y=t²-3t+1，t∈[1，2]，當(dāng)t=1或2時(shí)，y_max=-1，
由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無最值，不可能滿足f（m）＜g（n），
當(dāng)a＜0時(shí)，在（0，-

1

a

）上遞增，在（-

1

a

，+∞）上遞減；
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

），
∵對(duì)任意的m∈（0，+∞），存在n∈[0，1]，使得f（m）＜g（n），
∴f（x）_max＜g（x）_max，∴-1+ln（-

1

a

）＜-1，
∴l(xiāng)n（-

1

a

）＜0，
∴-

1

a

＜1，∴a＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．