Question

2．已知函數(shù)y=x³-3x在區(qū)間[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值是a=$\sqrt{3}$-1或0．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出最大值和最小值，得到關(guān)于a的方程，解出即可．

解答 解：y′=f′（x）=3（x+1）（x-1），
∴函數(shù)在在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
①a=0時，函數(shù)在[0，1]遞減，
函數(shù)的最大值是f（0）=0，函數(shù)的最小值是f（1）=-2，
∴f（0）-f（1）=0-（-2）=2，
故a=0符合題意；
②0＜a＜1時，1＜a+1＜2，
∴函數(shù)在[a，1）遞減，在（1，a+1]遞增，
函數(shù)的最小值是f（1）=-2，
由f（a）=f（a+1），
得3a²+3a-2=0，解得：a=$\frac{\sqrt{33}-3}{6}$，
（i）∴0≤a＜$\frac{\sqrt{33}-3}{6}$時，f（x）的最大值是f（a），
∴a³-3a-（-2）=2，解得a=0或$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$，不合題意，舍，
（ii）$\frac{\sqrt{33}-3}{6}$≤a＜1時，f（x）的最大值是f（a+1），
∴（a+1）³-3（a+1）-（-2）=2，解得a=$\sqrt{3}$-1，符合題意，
③a≥1時，f（x）在[a，a+1]遞增，
∴f（x）_min=f（a），f（x）_max=f（a+1），
∴（a+1）³-3（a+1）-a³+3a=2，
解得：a=$\frac{\sqrt{57}-3}{6}$＜1，舍，
綜上：a=$\sqrt{3}$-1或0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．