Question

（2012•信陽模擬）將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落，小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

．
（Ⅰ）求小球落入A袋的概率P（A）及落入B袋中的概率P（B）．
（Ⅱ）在容器的入口處依次放入4個小球，記ξ為落入B袋中的小球個數(shù)，試求ξ=3時的概率，并求ξ的期望和方差．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于小球落入B袋情況簡單易求，記小球落入B袋中的概率P（B），由P（A）+P（B）=1求P（A），
（Ⅱ）由題意知，此問題是一個二項分布的問題，故直接用公式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）記小球落入B袋中的概率P（B），則P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落，小球將落入B袋，
所以有P（B）=（

1

2

）³+（

1

2

）³=

1

4

，
∴P（A）=

3

4

（Ⅱ）由題意，ξ～B（4，

3

4

）
所以有P（ξ=3）=

C

3 4

×(

3

4

)3×

1

4

=

27

64

∴Eξ=4×

3

4

=3，Dξ═4×

3

4

×

1

4

=

3

4

點評：本題考查利用相互獨立事件的概率乘法公式求概率，以及利用二項分布模型求概率及求期望值．屬于概率中的基本題型．