Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點為F（1，0）．
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）若過點F且傾斜角為

π

4

 的直線與此橢圓相交于A、B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用離心率公式，由c=1，求得a，再由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；
（2）求出直線方程，聯立橢圓方程，消去y，得到x的方程，解得交點A，B，再由兩點的距離公式，即可得到弦長．

解答： 解：（1）由于右焦點為F（1，0），則c=1，
離心率為

2

2

，則有e=

c

a

=

2

2

，即有a=

2

，
b²=a²-c²=2-1=1，
則橢圓的標準方程為：

x2

2

+y²=1；
（2）過點F且傾斜角為

π

4

的直線為：y=x-1，
聯立橢圓方程，消去y，得3x²-4x=0，
解得，x=0或

4

3

，
則交點分別為A（0，-1），B（

4

3

，

1

3

）．
則|AB|=

( 4 3 -0)2+( 1 3 +1)2

=

4 2

3

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和橢圓方程聯立，求交點和弦長，考查運算能力，屬于基礎題．