Question

19．若z²+z+1=0，則z²⁰⁰²+z²⁰⁰³+z²⁰⁰⁵+z²⁰⁰⁶等于（　�。�

• A． 2
• B． -2
• C． -$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i
• D． -$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{3}}{2}$i

Answer 1

分析 求出z，根據z的特點計算z²⁰⁰¹和z²⁰⁰⁴．

解答 解：設z=a+bi，a，b∈R，則z²+z+1=a²-b²+a+（2ab+b）i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}+a=0}\\{2ab+b=0}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{2}$，b=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，∴z=-$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{3}}{2}i$，∴z³=1．
∵z²+z+1=0，∴z+z²=-1，
∴z²⁰⁰²+z²⁰⁰³+z²⁰⁰⁵+z²⁰⁰⁶=z²⁰⁰¹（z+z²）+z²⁰⁰⁴（z+z²）=-z²⁰⁰¹-z²⁰⁰⁴．
∵z³=1，∴z²⁰⁰¹=z²⁰⁰⁴=z³=1，
∴z²⁰⁰²+z²⁰⁰³+z²⁰⁰⁵+z²⁰⁰⁶=-1-1=-2．
故選：B．

點評 本題考查了復數的運算，復數的性質應用，觀察z³=1是解題關鍵．