Question

5．設(shè)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）其圖象上最高點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，$\sqrt{2}$），曲線上點(diǎn)P由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到相鄰的最低點(diǎn)N時(shí)，在點(diǎn)Q（6，0）處越過x軸．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）函數(shù)f（x）的圖象能否通過平移變換得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象？若能，寫出變換方法；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)以及函數(shù)對(duì)稱中心，建立方程關(guān)系即可求A，ω，φ的值；
（2）利用函數(shù)平移關(guān)系以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）∵圖象上最高點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，$\sqrt{2}$），
∴A=$\sqrt{2}$，
∵曲線上點(diǎn)P由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到相鄰的最低點(diǎn)N時(shí)，在點(diǎn)Q（6，0）處越過x軸，
∴Q（6，0）是一個(gè)對(duì)稱中心，
則$\frac{T}{4}$=6-2=4，即函數(shù)的周期T=4×4=16，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=16，
∴ω=$\frac{π}{8}$．
即函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
∵當(dāng)x=2時(shí)，y=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=$\sqrt{2}$，
即sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1，
即$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{4}$，
∵|φ|＜π，
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=$\frac{π}{4}$，
即函數(shù)求A=$\sqrt{2}$，ω=$\frac{π}{8}$，φ=$\frac{π}{4}$；
（2）∵A=$\sqrt{2}$，ω=$\frac{π}{8}$，φ=$\frac{π}{4}$；
∴函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin[$\frac{π}{8}$（x+2）]，
將函數(shù)向右平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin[$\frac{π}{8}$（x-2+2）]=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{8}$x為奇函數(shù)，滿足條件，
即函數(shù)f（x）的圖象可以通過平移變換得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)解析式的確定以及三角函數(shù)性質(zhì)的考查，根據(jù)條件確定A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．