Question

10．以直角坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4}{\sqrt{co{s}^{2}θ+1}}$．
（1）求直線l及曲線C的普通方程；
（2）設(shè)P（2，2），直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4}{\sqrt{co{s}^{2}θ+1}}$，可得：ρ²（2cos²θ+sin²θ）=16，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P（2，2），直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得：3t²-4$\sqrt{2}$t-8=0，利用|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得：x+y=4．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4}{\sqrt{co{s}^{2}θ+1}}$，可得：ρ²（2cos²θ+sin²θ）=16，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：2x²+y²=16，化為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）設(shè)P（2，2），直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得：3t²-4$\sqrt{2}$t-8=0，
∴t₁+t₂=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，t₁•t₂=-$\frac{8}{3}$
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}-4×（-\frac{8}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．