【題目】如圖,已知圓的方程為
,圓
的方程為
,若動圓
與圓
內(nèi)切,與圓
外切.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡
的方程;
(Ⅱ)過直線上的點
作圓
的兩條切線,設(shè)切點分別是
,
,若直線
與軌跡
交于
,
兩點,求
的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(Ⅰ)設(shè)動圓的半徑為
,由題動圓
與圓
內(nèi)切,與圓
外切,則
,由此即可得到動圓圓心
的軌跡是以
為焦點,長軸長為
的橢圓,進而得到動圓圓心
的軌跡
的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線上任意一點
的坐標(biāo)是
,切點
坐標(biāo)分別是
,
;則經(jīng)過
點的切線斜方程是
,同理經(jīng)過
點的切線方程是
,又兩條切線
,
相交于
.可得經(jīng)過
兩點的直線
的方程是
,對
分類討論分別求出
的值,即可得到
的最小值.
(Ⅰ)設(shè)動圓的半徑為
,∵動圓
與圓
內(nèi)切,與圓
外切,
∴,且
.于是,
,
所以動圓圓心的軌跡是以
為焦點,長軸長為
的橢圓.從而,
,
所以.故動圓圓心
的軌跡
的方程為
.
(Ⅱ)設(shè)直線上任意一點
的坐標(biāo)是
,切點
坐標(biāo)分別是
,
;則經(jīng)過
點的切線斜率
,方程是
,
經(jīng)過點的切線方程是
,又兩條切線
,
相交于
.
則有,所以經(jīng)過
兩點的直線
的方程是
,
①當(dāng)時,有
,
,
,
,則
;
②當(dāng)時,聯(lián)立
,整理得
;
設(shè)坐標(biāo)分別為
,
,則
,
所以,
綜上所述,當(dāng)時,
有最小值
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
.
(1)當(dāng),
時,求函數(shù)
的最小值;
(2)當(dāng),
時,求證方程
在區(qū)間
上有唯一實數(shù)根;
(3)當(dāng)時,設(shè)
是
函數(shù)兩個不同的極值點,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解中學(xué)生課余觀看熱門綜藝節(jié)目“爸爸去哪兒”是否與性別有關(guān),某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組從該校學(xué)生中隨機抽取了人進行問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)果表明:女生中喜歡觀看該節(jié)目的占女生總?cè)藬?shù)的
,男生喜歡看該節(jié)目的占男生總?cè)藬?shù)的
.隨后,該小組采用分層抽樣的方法從這
份問卷中繼續(xù)抽取了
份進行重點分析,知道其中喜歡看該節(jié)目的有
人.
(1) 現(xiàn)從重點分析的人中隨機抽取了
人進行現(xiàn)場調(diào)查,求這兩人都喜歡看該節(jié)目的概率;
(2) 若有的把握認(rèn)為“愛看該節(jié)目與性別有關(guān)”,則參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)
至少為多少?
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面邊長為a,E是PC的中點.
(Ⅰ)求證:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;
(Ⅲ)若二面角E-BD-C為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,
是函數(shù)
的圖像上任意不同的兩點,依據(jù)圖像可知,線段
總是位于
兩點之間函數(shù)圖像的上方,因此有結(jié)論
成立,運用類比的思想方法可知,若點
,
是函數(shù)
的圖像上任意不同的兩點,則類似地有_________成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調(diào)研:項目:通信設(shè)備.根據(jù)調(diào)研,投資到該項目上,所有可能結(jié)果為:獲利
、損失
、不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為
;項目
:新能源汽車.根據(jù)調(diào)研,投資到該項目上,所有可能結(jié)果為:獲利
、虧損
,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為
.經(jīng)測算,當(dāng)投入
兩個項目的資金相等時,它們所獲得的平均收益(即數(shù)學(xué)期望)也相等.
(1)求的值;
(2)若將萬元全部投到其中的一個項目,請你從投資回報穩(wěn)定性考慮,為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
.
(1)當(dāng),
時,求函數(shù)
的最小值;
(2)當(dāng),
時,求證方程
在區(qū)間
上有唯一實數(shù)根;
(3)當(dāng)時,設(shè)
是
函數(shù)兩個不同的極值點,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“北京八分鐘”在韓國平昌冬奧會驚艷亮相,冬奧會正式進入了北京周期,全社會對冬奧會的熱情空前高漲.
(1)為迎接冬奧會,某社區(qū)積極推動冬奧會項目在社區(qū)青少年中的普及,并統(tǒng)計了近五年來本社區(qū)冬奧項目青少年愛好者的人數(shù)(單位:人)與時間
(單位:年),列表如下:
依據(jù)表格給出的數(shù)據(jù),是否可用線性回歸模型擬合與
的關(guān)系,請計算相關(guān)系數(shù)
并加以說明(計算結(jié)果精確到0.01).
(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)
附:相關(guān)系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù)
.
(2)某冰雪運動用品專營店為吸引廣大冰雪愛好者,特推出兩種促銷方案.
方案一:每滿600元可減100元;
方案二:金額超過600元可抽獎三次,每次中獎的概率同為 ,且每次抽獎互不影響,中獎1次打9折,中獎2次打8折,中獎3次打7折. v
兩位顧客都購買了1050元的產(chǎn)品,并且都選擇第二種優(yōu)惠方案,求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率;
②如果你打算購買1000元的冰雪運動用品,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
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