【題目】已知函數(shù),,.
(1)當(dāng),時,求函數(shù)的最小值;
(2)當(dāng),時,求證方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)根;
(3)當(dāng)時,設(shè)是函數(shù)兩個不同的極值點,證明:.
【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【解析】
(1)構(gòu)造新函數(shù)y=,求導(dǎo)判斷單調(diào)性,得出最小值e.(2)變量分離a=- =h(x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)h(x)的最小值,利用a的范圍證明在區(qū)間(0,2)上有唯一實數(shù)根;(3)求出 ,問題轉(zhuǎn)化為證 ,令x1﹣x2=t,得到t<0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
(1)當(dāng)=0,時,= ,求導(dǎo)y’= =0的根x=1
所以y在(-),(0,1)遞減,在(1,+ )遞增,
所以y =e
(2)+=0,所以a=- =h(x)
H’(x)=- =0的根x=2
則h(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,
所以h(2)是y=h(x)的極大值即最大值,即
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上有唯一實數(shù)根;
(3)= -
F’(x)-2ax-a=0的兩根是,
∵x1,x2是函數(shù)F(x)的兩個不同極值點(不妨設(shè)x1<x2),
∴a>0(若a≤0時,f'(x)>0,即F(x)是R上的增函數(shù),與已知矛盾),
且F'(x1)=0,F(xiàn)'(x2)=0.∴,…
兩式相減得:,…
于是要證明,即證明,兩邊同除以,
即證,即證,即證,
令x1﹣x2=t,t<0.即證不等式,當(dāng)t<0時恒成立.
設(shè),∴=
設(shè),∴,
當(dāng)t<0,h'(t)<0,h(t)單調(diào)遞減,
所以h(t)>h(0)=0,即,
∴φ'(t)<0,∴φ(t)在t<0時是減函數(shù).
∴φ(t)在t=0處取得極小值φ(0)=0.
∴φ(t)>0,得證.
∴.
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【題目】已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù).
(1)求t的值;
(2)判斷在R上的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若函數(shù)在上的最小值為-2,求k的值.
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【題目】如圖,已知圓的方程為,圓的方程為,若動圓與圓內(nèi)切,與圓外切.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)過直線上的點作圓的兩條切線,設(shè)切點分別是,,若直線與軌跡交于,兩點,求的最小值.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率,且橢圓的短軸長為2.
(1)球橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線過右焦點,且它們的斜率乘積為,設(shè)分別與橢圓交于點和.
①求的值;
②設(shè)的中點,的中點為,求面積的最大值.
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【題目】給出下列命題,其中正確的序號是________(寫出所有正確命題的序號).
①已知集合,,則映射中滿足的映射共有個;
②函數(shù)的圖象關(guān)于對稱的函數(shù)解析式為;
③若函數(shù)的值域為,則實數(shù)的取值范圍是;
④已知函數(shù)的最大值為,最小值為,則的值等于.
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【題目】20名高二學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如圖:
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)分別求出成績落在與中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績在的學(xué)生中任選2人,求此2人的成績都在中的概率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,試求函數(shù)y=(x>0)的最小值;
(2)對于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,試求a的取值范圍.
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【題目】隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長。設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(單位:億元)的數(shù)據(jù)如下:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
儲蓄存款 | 3.4 | 3.6 | 4.5 | 4.9 | 5.5 | 6.1 | 7.0 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)2018年城鄉(xiāng)居民儲蓄存款前五名中,有三男和兩女,F(xiàn)從這5人中隨機(jī)選出2人參加某訪談節(jié)目,求選中的2人性別不同的概率。
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,。
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、,圓經(jīng)過橢圓的兩個焦點和兩個頂點,點在橢圓上,且,.
(Ⅰ)求橢圓的方程和點的坐標(biāo);
(Ⅱ)過點的直線與圓相交于、兩點,過點與垂直的直線與橢圓相交于另一點,求的面積的取值范圍.
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