Question

已知拋物線C的方程為x²=2py，設(shè)點(diǎn)M（x₀，1）（x₀＞0）在拋物線C上，且它到拋物線C的準(zhǔn)線距離為

5

4

；
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（M、A、B三點(diǎn)互不相同），求當(dāng)∠MAB為鈍角時(shí)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線的定義，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線AM的方程為：y=k（x-1）+1，與拋物線方程聯(lián)立，求出k的范圍，利用y1=(k-1)2，即可求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍．

解答： 解：（1）由定義得1+

p

2

=

5

4

，則拋物線C的方程：x²=y
（2）設(shè)直線AM的方程為：y=k（x-1）+1
聯(lián)立方程

y=k(x-1)+1 x2=y

得x²-kx+k-1=0，A（k-1，（k-1）²），△₁＞0即k≠2
同理B（-k-1，（-k-1）²），△₂＞0即k≠-2，
令y1=(k-1)2，

AB

AM

＜0
則

AB

AM

=2k(k-2)+4k(2k-k2)=-4k3+10k2-4k＜0
所以k＞2或0＜k＜

1

2

，
所以y1∈(

1

4

，1)∪(1，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．