分析 (1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{an}的通項公式,
(2)先化簡數(shù)列bn,根據(jù)裂項求和和放縮法即可證明.
解答 解:(1)∵$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$,∴當n=1時,$2{a_1}=a_1^2+{a_1}$,解得a1=1;
當n≥2時,$2{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+{a_{n-1}}$,$2{a_n}=a_n^2+{a_n}-(a_{n-1}^2+{a_{n-1}})$,
化為(an+an-1)(an-an-1-1)=0,∵?n∈N*有an>0,
∴an-an-1=1.
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項為1,公差為1.
∴an=1+(n-1)=n.
∴an=n.
(2)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_n}+1}+{a_{n+1}}\sqrt{a_n}}}=\frac{1}{{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}}=\frac{{\sqrt{n}}}{n}-\frac{{\sqrt{n+1}}}{n+1}$,
∴{bn}的前n項和為${T_n}=(1-\frac{{\sqrt{2}}}{2})+(\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{3})+…+(\frac{{\sqrt{n}}}{n}-\frac{{\sqrt{n+1}}}{n+1})=1-\frac{{\sqrt{n+1}}}{n+1}$,
由Tn隨著n增大在增大,得$\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}≤{T_n}<1$.
點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查運算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 24+$\sqrt{5}$ | B. | 24-π | C. | 24+($\sqrt{5}$-1)π | D. | 20+($\sqrt{5}$-1)π |
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A. | f(x)在$(0,\frac{π}{2})$單調(diào)遞減 | B. | f(x)在$(\frac{π}{4},\frac{3π}{4})$單調(diào)遞減 | ||
C. | f(x)在$(0,\frac{π}{2})$單調(diào)遞增 | D. | f(x)在$(\frac{π}{4},\frac{3π}{4})$單調(diào)遞增 |
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A. | -1 | B. | 0 | C. | 1 | D. | 2 |
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