Question

19．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A是橢圓上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A不在y軸上，點(diǎn)B在直線y=t上，且OA⊥OB，是否存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（t，r）使得直線AB與圓O：x²+y²=r²總相切，若存在，求出所有滿足題意的有序?qū)崝?shù)對(duì)（t，r）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為y=kx+s，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線代入橢圓方程，整理得x²+4（kx+s）²=4，要使切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，則使△=64k²s²-16（1+4k²）（s²-1）=16（4k²-s²+1）＞0
．由此能求出存在圓心在原點(diǎn)的圓x²+y²=$\frac{4}{5}$，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）①設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為y=kx+s，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線代入橢圓方程，整理得x²+4（kx+s）²=4，
即（1+4k）²x²+8ksx+4s²-4=0，
要使切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，
則使△=64k²s²-16（1+4k²）（s²-1）=16（4k²-s²+1）＞0
即4k²-s²+1＞0，即s²＜4k²+1，且x₁+x₂=-$\frac{8ks}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{s}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+s）（kx₂+s）=k²x₁x₂+ks（x₁+x₂）+s²=$\frac{{s}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
要使OA⊥OB，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{s}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{s}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，
所以5s²-4k²-4=0，即5s²=4k²+4且s²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因?yàn)橹本�y=kx+s為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=$\frac{|s|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4}{5}}$，所求的圓為x²+y²=$\frac{4}{5}$．
②當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
與$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1交于點(diǎn)（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）滿足．
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x²+y²=$\frac{4}{5}$，滿足題意的有序?qū)崝?shù)對(duì)（±1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．