Question

【題目】已知數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問(wèn)：是否存在數(shù)列，使得對(duì)一切，恒成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，再根據(jù)等比數(shù)列定義以及等比數(shù)列求和公式求結(jié)果，（2）由和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，代入化簡(jiǎn)得，即得，再化為，解得的所有可能值，（3）由和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，根據(jù)條件可得數(shù)列不減，得，疊放得，從而，而，所以得證.

試題解析：（1）數(shù)列為“數(shù)列”，則，故，

兩式相減得：，

又時(shí)，，所以

故對(duì)任意的恒成立，即（常數(shù)），

故數(shù)列為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為；

.

（2）

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，則；

則

則，因?yàn)?/span>

則

因?yàn)?/span>，則，且時(shí)，，

解得：.

（3）

，由歸納知，，

，由歸納知，，

則

于是

于是

，∴

結(jié)論顯然成立.