Question

16．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=$\frac{π}{3}$，b=2，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（1）求a和c的值；
（2）求sin（2B-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求出，
（2）根據(jù)正弦定理和二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關系，以及兩角差的正弦公式即可求出．

解答 解：（1）∵△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=3
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
∴$a=\sqrt{7}$ 
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$
∴$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
∵a＞b，∴$0＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$cosB=\sqrt{1-{{sin}^2}B}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴$sin2B=2sinBcosB=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，$cos2B={cos^2}B-{sin^2}B=\frac{1}{7}$，
∴$sin（{2B-\frac{π}{6}}）$=$sin2Bcos\frac{π}{6}-cos2Bsin\frac{π}{6}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{7}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{7}×\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$．

點評 本題主要考查了三角形的面積公式及正弦定理余弦定理在求解三角形中的應用以及三角函數(shù)的化簡和求值，解題的關鍵是公式的熟練應用，屬于中檔題