【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為,以為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓恰好過原點(diǎn).點(diǎn)是與軸的交點(diǎn), 兩點(diǎn)在拋物線上且直線過點(diǎn),過點(diǎn)及的直線交拋物線于點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)求證:直線過一定點(diǎn),并求出該點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1) ;(2)直線過定點(diǎn),證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意可得,則為等腰三角形.過作軸于,則,據(jù)此可得拋物線的方程為.
(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得.結(jié)合韋達(dá)定理有.直線的方程為.可得,則直線過定點(diǎn).
試題解析:
(1)∵上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為,∴,
∵以為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓恰好過原點(diǎn),∴,即為等腰三角形.
過作軸于,則,∴得,
∴拋物線的方程為.
(2)證明:設(shè)的方程為,代入拋物線的方程,可得.
設(shè), , ,則,
由,
直線的方程為,∴,
可得,∴,
∴.①
直線的方程為.
可得,②
由①②可得, ,∴直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方體中, 分別為的中點(diǎn), 是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.
(1)當(dāng)時(shí),求證:平面平面;
(2)是否存在,使得?若存在,請(qǐng)求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,以為概率的事件是( )
A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品
C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意都有;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)E是線段AB中點(diǎn).
證明:;
求二面角的大小的余弦值;
求A點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校舉行了一次安全教育知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽的原始成績(jī)采用百分制,已知高三學(xué)生的原始成績(jī)均分布在內(nèi),發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制,各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見表.
原始成績(jī) | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等級(jí) | 優(yōu)秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
為了解該校高三年級(jí)學(xué)生安全教育學(xué)習(xí)情況,從中抽取了名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示,其中等級(jí)為不及格的有5人,優(yōu)秀的有3人.
(1)求和頻率分布直方圖中的的值;
(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,若該校高三學(xué)生共1000人,求競(jìng)賽等級(jí)在良好及良好以上的人數(shù);
(3)在選取的樣本中,從原始成績(jī)?cè)?/span>80分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹,求抽取的2名學(xué)生中優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生恰好有1人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若的頂點(diǎn)、在橢圓上, 所在的直線斜率為, 所在的直線斜率為,若,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè),試討論單調(diào)性;
(2)設(shè),當(dāng)時(shí),任意,存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識(shí),增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”,共有900名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請(qǐng)你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖,解答下列問題:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
50.5~60.5 | 4 | 0.08 |
60.5~70.5 | 0.16 | |
70.5~80.5 | 10 | |
80.5~90.5 | 16 | 0.32 |
90.5~100.5 | ||
合計(jì) | 50 |
(Ⅰ)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi));
(Ⅱ)補(bǔ)全頻數(shù)條形圖;
(Ⅲ)若成績(jī)?cè)?/span>75.5~85.5分的學(xué)生為二等獎(jiǎng),問獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人?
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