Question

10．己知拋物線若y²=2px過(guò)點(diǎn)P（1，2）．
（1）求實(shí)數(shù)p的值；
（2）若直線若l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），兩點(diǎn)，且y₁y₂=-4，求證直線l過(guò)定點(diǎn)并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線若y²=2px過(guò)點(diǎn)P（1，2），代入計(jì)算，可得結(jié)論；
（2）設(shè)AB：x=my+b，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合條件，可得b=1，即可得到定點(diǎn)（1，0）．

解答 （1）解：∵拋物線若y²=2px過(guò)點(diǎn)P（1，2），
∴4=2p，
∴p=2；
（2）證明設(shè)AB：x=my+b，
代入拋物線方程y²=4x，可得y²-4my-4b=0，
y₁y₂=-4b，又y₁y₂=-4，
即有b=1，
即有x=my+1，
則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．