Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，且f（1）=-1．
（1）求f（x）的解析式，并判斷它的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）將a=-2代入f（x），求出函數(shù)的定義域，得到f（-x）=-f（x），從而判斷出函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解（1）可求得a=-2，
f（x）=$\frac{-{2x}^{2}+1}{x}$=-2x+$\frac{1}{x}$…（3分）
因為f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
且f（-x）=2x-$\frac{1}{x}$=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．…（7分）
（2）f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減，
證明：設(shè)任意0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$+2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（2+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）…（10分）
因為0＜x₁＜x₂   所以x₂-x₁＞0且2+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
所以  f（x₁）＞f（x₂） 
所以 f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減…（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義，是一道基礎(chǔ)題．