Question

3．在數(shù)列中，a₁=1，a_n+1=（-1）ⁿ（a_n+1），記S_n為{a_n}的前n項和，則S₂₀₁₆=-1008．

Answer 1

分析 a_n+1=（-1）ⁿ（a_n+1），分類討論：n=2k（k∈N^*）時，a_2k+1-a_2k=1；n=2k-1時，a_2k=-a_2k-1-1．可得：a_2k+1+a_2k-1=0，a_2k+2+a_2k=-2．利用分組求和即可得出．

解答 解：∵a_n+1=（-1）ⁿ（a_n+1），
∴n=2k（k∈N^*）時，a_2k+1-a_2k=1；
n=2k-1時，a_2k=-a_2k-1-1．
∴a_2k+1+a_2k-1=0，a_2k+2+a_2k=-2．
∴S₂₀₁₆=[（a₁+a₃）+…+（a₂₀₁₃+a₂₀₁₅）]+[（a₂+a₄）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）]
=0+（-2）×$\frac{2016}{4}$=-1008．
故答案為：-1008．

點評 本題考查了遞推關系、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．