Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)，其回旋值為t，給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=4為回旋函數(shù)，其回旋值t=-1；
②若y=a^x（a＞0，且a≠1）為回旋函數(shù)，則回旋值t＞1；
③若f（x）=sinωx（ω≠0）為回旋函數(shù)，則其最小正周期不大于2；
④對(duì)任意一個(gè)回旋值為t（t≥0）的回旋函數(shù)f（x），函數(shù)f（x）均有零點(diǎn)．
其中正確的命題是

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用回旋函數(shù)的定義即可．②若指數(shù)函數(shù)y=a^x為階數(shù)為t回旋函數(shù)，根據(jù)定義求解，得矛盾結(jié)論．
③由于f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，故有：sinω（x+t）+tsinωx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，結(jié)論可證．
④t=0時(shí)結(jié)論顯然；當(dāng)t≠0時(shí)先假設(shè)存在，利用回旋函數(shù)的定義，易得在區(qū)間（0，t）上必有一個(gè)實(shí)根．

解答： 解：對(duì)于①函數(shù)f（x）=4為回旋函數(shù)，則由f（x+t）+tf（x）=0，得4+4t=0，∴t=-1，故結(jié)論正確．
對(duì)于②，若指數(shù)函數(shù)y=a^x為階數(shù)為t回旋函數(shù)，則a^x+t+ta^x=0，a^t+t=0，∴t＜0，∴結(jié)論不成立．
對(duì)于③，由于f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，故有：sinω（x+t）+tsinωx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立
令x=0，可得sinωt=0，令x=

π

2

，運(yùn)用兩角的和的正弦公式可得可得cosωt=-t，
由

sinωt=0 cosωt=-t

，得t=±1，ω=kπ（k為整數(shù)），∴T=|

2

k

|≤2，∴結(jié)論正確；
對(duì)于④，如果t=0，顯然f（x）=0，則顯然有實(shí)根．下面考慮t≠0的情況．
若存在實(shí)根x₀，則f（x₀+t）+tf（x₀）=0，即f（x₀+t）=0說明實(shí)根如果存在，那么加t也是實(shí)根．因此在區(qū)間（0，t）上必有一個(gè)實(shí)根．
則：f（0）f（t）＜0，由于f（0+t）+tf（0）=0，則f（0）=-

f(t)

t

，
只要t＞0，即可保證f（0）和f（t）異號(hào)．
綜上t≥0，即對(duì)任意一個(gè)階數(shù)為t（t≥0）的回旋函數(shù)f （x），函數(shù)f（x）均有零點(diǎn)，故結(jié)論正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的周期、函數(shù)的零點(diǎn)注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的能力，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題