【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,AD=PD=2,PA=2 ,∠PDC=120°,點E為線段PC的中點,點F在線段AB上. (Ⅰ)若AF= ,求證:CD⊥EF;
(Ⅱ)設(shè)平面DEF與平面DPA所成二面角的平面角為θ,試確定點F的位置,使得cosθ= .
【答案】證明:(Ⅰ)在△PCD中,PD=CD=2, ∵E為PC的中點,∴DE平分∠PDC,∠PDE=60°,
∴在Rt△PDE中,DE=PDcos60°=1,
過E作EH⊥CD于H,則 ,連結(jié)FH,
∵ ,∴四邊形AFHD是矩形,
∴CD⊥FH,又CD⊥EH,F(xiàn)H∩EH=H,∴CD⊥平面EFH,
又EF平面EFH,∴CD⊥EF.
解:(Ⅱ)∵AD=PD=2, ,∴AD⊥PD,又AD⊥DC,
∴AD⊥平面PCD,
又AD平面ABCD,∴平面PCD⊥平面ABCD.
過D作DG⊥DC交PC于點G,則由平面PCD⊥平面ABCD知,DG⊥平面ABCD,
故DA,DC,DG兩兩垂直,以D為原點,以DA,DC,DG所在直線分別為x,y,z軸,
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,
則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), ,
又知E為PC的中點,E ,設(shè)F(2,t,0),
則 , , , .
設(shè)平面DEF的法向量為 =(x1 , y1 , z1),
則 ,∴ ,
取z1=﹣2,得平面DEF的一個法向量 ,
設(shè)平面ADP的法向量為 =(x2 , y2 , z2),
則 ,∴ ,
取z2=1,得 .
∴ ,解得 ,
∴當(dāng) 時,滿足 .
【解析】(Ⅰ)過E作EH⊥CD于H,連結(jié)FH,推導(dǎo)出四邊形AFHD是矩形,由此能證明CD⊥EF.(Ⅱ)過D作DG⊥DC交PC于點G,以D為原點,以DA,DC,DG所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xz,利用向量法能求出當(dāng) 時,滿足 .
【考點精析】認真審題,首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=3sinx﹣πx,命題p:x∈(0, ),f(x)<0,則( )
A.p是假命題,¬p:?x∈(0, ),f(x)≥0
B.p是假命題,¬p:?x0∈(0, ),f(x0)≥0
C.p是真命題,¬p:?x∈(0, ),f(x)>0
D.p是真命題,¬p:?x0∈(0, ),f(x0)≥0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南航集團與波音公司2018年2月在廣州簽署協(xié)議,雙方合作的客改貨項目落戶廣州空港經(jīng)濟區(qū).根據(jù)協(xié)議,雙方將在維修技術(shù)轉(zhuǎn)讓、支持項目、管理培訓(xùn)等方面開展戰(zhàn)略合作.現(xiàn)組織者對招募的100名服務(wù)志愿者培訓(xùn)后,組織一次知識競賽,將所得成績制成如下頻率分布直方圖(假定每個分數(shù)段內(nèi)的成績均勻分布),組織者計劃對成績前20名的參賽者進行獎勵.
(1)試求受獎勵的分數(shù)線;
(2)從受獎勵的20人中利用分層抽樣抽取5人,再從抽取的5人中抽取2人在主會場服務(wù),試求2人成績都在90分以上(含90分)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人與他相鄰,則不同坐法的總數(shù)為
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),在以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=sinθ.
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線l:y=kx(x≥0)與曲線C1 , C2的交點分別為A,B(A,B異于原點),當(dāng)斜率k∈(1, ]時,求|OA||OB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), .
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時, 恒成立,求的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,與雙曲線x2﹣y2=1的漸近線有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A. + =1
B. + =1
C. + =1
D. + =1
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