Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$，g（x）=ax+1．（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當x∈（1，e²]時，求函數(shù)f（x）圖象上點M處切線斜率的最大值；
（Ⅱ） 若h（x）=f（x）+g（x）在點（e，h（e））處的切線l與直線x-y-2=0垂直，求切線l方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）圖象上點M處切線斜率為${f^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{1}{{{{ln}^2}x}}+\frac{1}{lnx}$，利用x∈（1，e²]，即可求函數(shù)f（x）圖象上點M處切線斜率的最大值；
（Ⅱ） h（x）在點（e，h（e））處的切線l與直線x-y-2=0垂直，h′（e）=a=-1，h（e）=1，即可求切線l方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)切點M（x，f（x）），則x∈（1，e²]．
函數(shù)f（x）圖象上點M處切線斜率為${f^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{1}{{{{ln}^2}x}}+\frac{1}{lnx}$…（2分）
∵$x∈（{1，\left.{e^2}]}\right.，\frac{1}{lnx}∈[{\frac{1}{2}}\right.，\left.{+∞}）$，…（4分）
∴${f^'}（x）=-{（{\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$，
∴$當\frac{1}{lnx}=\frac{1}{2}時，即x={e^2}，{f^'}{（x）_{max}}=\frac{1}{4}$…（6分）
（Ⅱ）∵$h（x）=\frac{x}{lnx}+ax+1$，${h^，}（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+a$，…（8分）
又h（x）在點（e，h（e））處的切線l與直線x-y-2=0垂直．
∴h′（e）=a=-1，h（e）=1，…（10分）
切線l的方程為x+y-1-e=0…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．