Question

10．已知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為-$\frac{3}{4}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+b_n=n-1，記S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和，若數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$+λ•$\frac{{T}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，則λ=2．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列寫出b_n，T_n的公式，再結(jié)合a_n+1+b_n=n-1寫出S_n的公式，從而求得$\frac{{S}_{n}}{n}$+λ•$\frac{{T}_{n}}{n}$的表達(dá)式，從而解得．

解答 解：∵數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為-$\frac{3}{4}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴b_n=-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$，
T_n=$\frac{-\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
又∵a_n+1+b_n=n-1，
∴a_n+1=-b_n+n-1
=$\frac{3}{{2}^{n+1}}$+n-1，
∴a_n=$\frac{3}{{2}^{n}}$+n-2，
S_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）+$\frac{n（n-1）}{2}$-2n，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$+λ•$\frac{{T}_{n}}{n}$
=$\frac{1}{n}$[3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）+$\frac{n（n-1）}{2}$-2n-λ$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）]
=$\frac{1}{n}$$\frac{3}{2}$（2-λ）（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）+$\frac{n-1}{2}$-2，
∵數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$+λ•$\frac{{T}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，
∴2-λ=0，
故λ=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．