Question

15．在無窮數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對于任意n∈N^*，都有a_n∈N^*，且a_n＜a_n+1．設(shè)集合A_m={n|a_n≤m，m∈N^*}，將集合A_m中的元素的最大值記為b_m，即b_m是數(shù)列{a_n}中滿足不等式a_n≤m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值，我們稱數(shù)列{b_n}為數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列．
例如：數(shù)列{a_n}是1，3，4，…，它的伴隨數(shù)列{b_n}是1，1，2，3，…．
（I）設(shè)數(shù)列{a_n}是1，4，5，…，請寫出{a_n}的伴隨數(shù)列{b_n}的前5項(xiàng)；
（II）設(shè)a_n=3^n-1（n∈N*），求數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列{b_n}的前20項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）由{a_n}伴隨數(shù)列{b_n}的定義可得前5項(xiàng)為1，1，1，2，3．
（II）由a_n=3^n-1≤m，可得n≤1+log₃m，m∈N^*，分類討論：當(dāng)1≤m≤2時(shí)，m∈N^*，b₁=b₂=1；當(dāng)3≤m≤8時(shí)，m∈N^*，b₃=b₄=…=b₈=2；當(dāng)9≤m≤20時(shí)，m∈N^*，b₉=b₁₀=…=3；即可得出數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列{b_n}的前20項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列1，4，5，…的伴隨數(shù)列{b_n}的前5項(xiàng)1，1，1，2，3；
（Ⅱ）由${a_n}={3^{n-1}}≤m$，得n≤1+log₃m（m∈N^*）．
∴當(dāng)1≤m≤2，m∈N*時(shí)，b₁=b₂=1；
當(dāng)3≤m≤8，m∈N*時(shí)，b₃=b₄=…=b₈=2；
當(dāng)9≤m≤20，m∈N*時(shí)，b₉=b₁₀=…=b₂₀=3．
∴b₁+b₂+…+b₂₀=1×2+2×6+3×12=50．

點(diǎn)評 本題考查了新定義“伴隨數(shù)列”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理與計(jì)算能力，是中檔題．