Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可得到；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 （1）證明：S_n=n²+2n，
可得a₁=S₁=3，
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-（n-1）=2n+1．
綜上可得a_n=2n+1（n∈N*），
即a_n-a_n-1=2，
則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3和公差為2的等差數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n+1；
（2）解：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
即有前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．