Question

6．如圖，已知ABCO-A₁B₁C₁O₁為長方體，OA=OC=2，OO₁=4，D為BC₁與B₁C的交點(diǎn)，E為A₁C₁與B₁O₁的交點(diǎn)，求二面角D-A₁C₁-A的平面角的正切值．

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角D-A₁C₁-A的平面角余弦值，利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式即可求出二面角的正切值．

解答 解：建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OC，OO₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵OA=OC=2，OO₁=4，D為BC₁與B₁C的交點(diǎn)，E為A₁C₁與B₁O₁的交點(diǎn)，
∴O（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），O₁（0，0，4），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），D（1，2，2），B（2，2，0），C₁（0，2，4），
則平面A₁C₁A的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{OB}$=（2，2，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面DA₁C₁的法向量，
則$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，2，-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-x+2y-2z=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x=2z}\end{array}\right.$，
令z=1，則x=2，y=2，即$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2×2+2×2+0}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}•\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+1}}$=$\frac{8}{2\sqrt{2}•3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
則sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
則tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即面角D-A₁C₁-A的平面角的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．