Question

2．設函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{x+1}$（x＞0），觀察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{4x}{3x+1}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{8x}{7x+1}$，
f（x）=f（f₃（x））=$\frac{16x}{15x+1}$，
…
根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：
當n∈N^*且n≥2時，f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{{2}^{n}x}{（{2}^{n}-1）x+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，歸納出函數(shù)解析中分母系數(shù)的變化規(guī)律，進而得到答案．

解答 解：觀察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{4x}{3x+1}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{8x}{7x+1}$，
f（x）=f（f₃（x））=$\frac{16x}{15x+1}$，
…
根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：
當n∈N^*且n≥2時，f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{{2}^{n}x}{（{2}^{n}-1）x+1}$．
故答案為：$\frac{{2}^{n}x}{（{2}^{n}-1）x+1}$．

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．