Question

11．如圖，把等腰直角三角形ABC以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)移動(dòng)的距離等于AC時(shí)停止，并記為點(diǎn)P．
（1）求證：面ABP⊥面ABC；
（2）求二面角C-BP-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求二面角C-BP-A的余弦值．

解答 解：（1）證明：由題設(shè)知AP=CP=BP．
∴點(diǎn)P在面ABC的射影D應(yīng)是△ABC的外心，
即D∈AB．
∵PD⊥AB，PD?平面ABP，
∴由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．
（2）取PB中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE、CD．
∵△BCP為正三角形，
∴CE⊥BD．
△BOD為等腰直角三角形，
∴DE⊥PB．
∴∠CED為二面角C-BP-A的平面角．
又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，面ABP∩面ABC=AB，
由面面垂直性質(zhì)定理，得DC⊥面ABP．
∴DC⊥DE．因此△CDE為直角三角形．
設(shè)BC=1，則CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DE=$\frac{1}{2}$，
cos∠CED=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間面面垂直的判定以及二面角的求解，根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．