17.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,滿足Sn=2an-2n,bn=an+2.
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)記cn=log2bn,數(shù)列$\{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}\}$的前n項和為Tn,證明${T_n}<\frac{1}{2}$.

分析 (I)Sn=2an-2n,利用遞推關系可得:an+1=2an+1-2an-2,即an+1=2an+2.再利用等比數(shù)列的系統(tǒng)公司即可得出.
(II)由(Ⅰ)得cn=n+1,可得:$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調性即可得出.

解答 解:(Ⅰ)∵Sn=2an-2n,
∴Sn+1=2an+1-2(n+1),從而an+1=2an+1-2an-2,
即an+1=2an+2.∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}+2}}{{{a_n}+2}}=\frac{{2{a_n}+4}}{{{a_n}+2}}=2$.
又a1=S1=2a1-2,∴a1=2,b1=a1+2=4≠0,
∴{bn}是首項為4,公比為2的等比數(shù)列,
∴${b_n}=4×{2^{n-1}}={2^{n+1}}$,從而${a_n}={2^{n+1}}-2$.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)得cn=n+1,
∴$\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,
從而${T_n}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}<\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系與等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質、“裂項求和方法”、數(shù)列的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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烹調包裝利潤
A1340
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 x-10245
f(x)141.541
下列關于函數(shù)f(x)的命題:
①函數(shù)f(x)的值域為[1,4];
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其中正確的命題個數(shù)為( 。
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