Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3$\sqrt{3}$，點E、H分別是所在邊靠近B、D的三等分點，現(xiàn)沿著EH將矩形折成直二面角，分別連接AD、AC、CB，形成如圖所示的多面體．
（Ⅰ）證明：平面BCE∥平面ADH；
（Ⅱ）證明：EH⊥AC；
（Ⅲ）求二面角B-AC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由DH∥CE，AH∥BE，能證明平面BCE∥平面ADH．
（Ⅱ）推地出AE=AH=CE=CH=EH=2$\sqrt{3}$，取HE中點O，連結(jié)AO，CO，則AO⊥EH，CO⊥EH，由此能證明EH⊥AC．
（Ⅲ）以O(shè)為原點，OC為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵DH∥CE，AH∥BE，
DH∩AH=H，CE∩BE=E，
DH，AH?平面ADH，CE，BE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADH．
（Ⅱ）∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=3$\sqrt{3}$，點E、H分別是所在邊靠近B、D的三等分點，
現(xiàn)沿著EH將矩形折成直二面角，分別連接AD、AC、CB，形成如圖所示的多面體，
∴AE=AH=CE=CH=EH=2$\sqrt{3}$，
取HE中點O，連結(jié)AO，CO，則AO⊥EH，CO⊥EH，
∵AO∩CO=O，∴EH⊥平面AOC，
∵AC?平面AOC，∴EH⊥AC．
解：（Ⅲ）以O(shè)為原點，OC為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，3），B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），C（3，0，0），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（3，0，-3），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-3），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=3x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面ADC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}a-\frac{3\sqrt{3}}{2}b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=3a-3c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
設(shè)二面角B-AC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-1+1}{\sqrt{5}•\sqrt{1+\frac{1}{3}+1}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．
由圖形得二面角B-AC-D的平面角是鈍角，
∴二面角B-AC-D的平面角的余弦值為-$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

點評 本題考查面面平面的證明，考查異面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．