Question

2．已知函數(shù)f（x）=x|m-x|，且f（4）=0．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）若方程f（x）=a只有一個實根，確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將x=4代入f（x）的解析式，解方程可得a的值；
（2）由絕對值的意義，討論x的范圍，運用二次函數(shù)的性質，可得單調區(qū)間；
（3）作出f（x）的圖象，考慮直線y=a與曲線有一個交點情況，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x|m-x|，且f（4）=0．
得4|m-4|=0，解得m=4；                   
（2）由（1）得f（x）=x|4-x|，
當x≥4時，f（x）=x²-4x=（x-2）²-4，
對稱軸x=2在區(qū)間[4，+∞）的左邊，
f（x）在[4，+∞）遞增；
當x＜4時，f（x）=x（4-x）=-（x-2）²+4，
可得f（x）在（-∞，2）遞增；在（2，4）遞減．
綜上可得f（x）的遞增區(qū)間為（-∞．，2），（4，+∞）；
遞減區(qū)間（2，4）；
（3）由f（x）的圖象可知，當a＜0或a＞4時，
f（x）的圖象與直線y=a只有一個交點，
方程f（x）=a只有一個實根，
即a的取值范圍是（-∞，0）∪（4，+∞）．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用：求單調區(qū)間，考查函數(shù)方程的轉化思想，以及分類討論的思想方法，注意數(shù)形結合的運用，屬于中檔題．