Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），求證：a₁a₂a₃…a_n＜e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（3）若k＜$\frac{xf（x）+{x}^{2}}{x-1}$對任意x＞2恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求出滿足條件的范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知，當x＞0時，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）＜x．由an=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$ （n∈N+），令k=1，2，3，…，n，累加后，利用放縮法可得答案；
（3）令g（x）=$\frac{xf（x）+{x}^{2}}{x-1}$（x＞2），求出g′（x）令h（x）=x-lnx-1，求出h′（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．
證明：（2）由（1）知，當x≥1時，f（x）≤f（1）=-1，即lnx＜x-1．
∵a_n=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N+），
∴l(xiāng)na_k=ln（1+$\frac{1}{{2}^{k}}$）＜$\frac{1}{{2}^{k}}$．
令k=1，2，3，…，n，這n個式子相加得：
lna₁+lna₂+lna₃+…+lnan
＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
即ln（a₁a₂a₃•…•a_n）＜1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a₁a₂a₃…a_n＜${e}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$＜e，
∴a₁a₂a₃…a_n＜e；
解：（3）令g（x）=$\frac{xf（x）+{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{xlnx}{x-1}$（x＞2），則g′（x）=$\frac{x-lnx-1}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-1，則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
而h（2）=1-ln2＞0，
∴k≤1-ln2，
故k的最大值是1-2ln2．

點評 本題考查的知識點是數(shù)列與函數(shù)的綜合，不等式的證明，恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，綜合性強，運算量大，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．