Question

在四面體PABC中，有下列命題，其中正確命題的個數(shù)（　�。�
①若PABC為正三棱錐，則相鄰兩側(cè)面所成二面角的取值范圍是（

π

3

，π）；
②若PA、PB、PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則

1

h2

=

1

PA2

+

1

PB2

+

1

PC2

；
③若PABC為正四面體，點E在棱PA上，點F在棱BC上，使得

PE

EA

=

BF

FC

=λ（λ＞0），f（λ）=α_λ+β，α_λ與β_λ分別表示EF與AC、PB所成的角，則f（λ）是定值；
④若它的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足

PA

•

PB

=0，

.

PB

•

PC

=0，

PC

•

PA

=0，則三棱錐P-ABC的側(cè)面積可以等于3．

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：①畫出圖形，集合圖形，求出三棱錐側(cè)面與側(cè)面所成角的范圍即可；
②根據(jù)題意，求出PA、PB、PC與底面ABC上的高h(yuǎn)的關(guān)系即可；
③畫出圖形，結(jié)合圖形，求出函數(shù)f（λ）的值即可；
④根據(jù)題意，求出三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值即可．

解答： 解：對于①，如圖所示，
過點A作AD⊥PB于點D，連接DC，
∴△PAB≌△PCB，∴CD⊥PB，
∴∠ADC為側(cè)面PAB與側(cè)面PCB的平面角，
設(shè)AB=a，AD=b，則b＜a，
在△ACD中，由余弦定理得，cos∠ADC=

AD2+CD2-AC2

2AD•CD

=

b2+b2-a2

2b2

＜

2b2-b2

2b2

=

1

2

，
所以∠ADC＞

π

3

，即∠ADC的范圍為（

π

3

，π），∴①正確；
對于②，∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，∴PA⊥平面PBC，
∴過點P作PD⊥BC與D，
則PD=

PC•PB

PC2+PB2

，h=PO=

PA•PD

PA2+PD2

，
∴h²=

PA2•PB2•PC2

PA2•PB2+PB2•PC2+PA2•PC2

，即

1

h2

=

1

PA2

+

1

PB2

+

1

PC2

，②正確；
對于③，如圖所示，作EG∥PB交AB于G，連GF，

則

PE

EA

=

BG

GA

=

BF

FC

，∴GF∥AC
∴∠GEF=α_λ，∠GFE=β_λ，
取AC的中點M，連接PM，BM，∵PABC是正四面體，∴AC⊥PM，AC⊥BM，
∵PM∩BM=M，∴AC⊥平面PBM
∵PB?平面PBM
∴AC⊥PB，∴∠EGF=90°
∴f（λ）=α_λ+β_λ=∠GEF+∠GFE=90°，為定值，③正確；
對于④，∵

PA

•

PB

=0，

.

PB

•

PC

=0，

PC

•

PA

=0，
∴PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑，
∴4=PA²+PB²+PC²，
由基本不等式得PA²+PB²≥2PA•PB，PA²+PC²≥2PA•PC，PB²+PC²≥2PB•PC，
即4=PA²+PB²+PC²≥PA•PB+PB•PC+PA•PC，
∴三棱錐P-ABC的側(cè)面積S=

1

2

（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2，
即三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為2，∴④錯誤．
綜上，以上正確的命題是①②③．
故選：B．

點評：本題考查了空間幾何體的應(yīng)用問題，考查了類比推理的應(yīng)用問題，考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問題，也考查了空間角的計算問題，是綜合題目．