Question

如圖，已知點(diǎn)A（-2，0）和圓O：x²+y²=4，AB是圓O的直經(jīng)，從左到右M、O和N依次是AB的四等分點(diǎn)，P（異于A、B）是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB交AB于D，

PE

=λ

ED

，直線PA與BE交于C，|CM|+|CN|為定值．
（1）求λ的值及點(diǎn)C的軌跡曲線E的方程；
（2）一直線L過定點(diǎn)S（4，0）與點(diǎn)C的軌跡相交于Q，R兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q₁，連接Q₁與R兩點(diǎn)連線交x軸于T點(diǎn)，試問△TRQ的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)，|CM|+|CN|為定值，建立條件關(guān)系即可求λ的值及點(diǎn)C的軌跡曲線E的方程；
（2）根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題即可．

解答： 解：（1）易得B（2，0），M（-1，0），N（1，0），
設(shè)P（x₀，y₀），C（x，y），
則E（x₀，

y0

1+λ

），
直線PA與BE交于C，
故x≠±2，

y

x+2

=

y0

x0+2

①
且

y

x-2

=

y0 1+λ

x0-2

，②
①②相乘得

y2

x2-4

=

y02 1+λ

x02-4

，
又因?yàn)辄c(diǎn)P（異于A，B）是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，故

y2

x2-4

=-

1

1+λ

，
即

x2

4

+

y2

4 1+λ

=1，要使|CM|+|CN|為定值，
則4-

4

1+λ

=1，
解得λ=

1

3

，
 此時(shí)

x2

4

+

y2

3

=1，（x≠±2），
即λ=

1

3

時(shí)，點(diǎn)C的軌跡曲線E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，（x≠±2），
（2）聯(lián)立

x=my+4 x2 4 + y2 3 =1

，消x得（3m²+4）y²+24my+36=0，
判別式△=（24m）²-4×36（3m²+4）=144（m²-4）＞0，即m²＞4
設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂，則Q′（x₁，-y₁），
由韋達(dá)定理有

y1+y2= 24m 3m2+4 ① y1y2= 36 3m2+4 ②

直線RQ的方程為y=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)-y1，
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

(my1+4)y2+y1(my2+4)

y1+y2

=

2my1y2+4(y1+y2)

y1+y2

將①②代人上式得x=1，
又S△TRQ=

1

2

|ST|•|y1-y2|=

3

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

2

(- 24m 3m2+4 )2- 4×36 3m2+4

=18•

m2-4

3m2+4

=

18 m2-4

3(m2-4)+16

=

18

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

3 3

4

當(dāng)m2=

28

3

時(shí)取得．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．