Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R），
（1）當a＜0時，若f（x）在[1，e]上的最大值與最小值之和為2+e，求實數(shù)a值；
（2）令h（x）=f（x）-

a-1

x

，討論h（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先研究函數(shù)的單調(diào)性，然后確定最值列出方程即可求出a的值；
（2）對函數(shù)h（x）求導(dǎo)數(shù)，然后利用分類討論的思想解不等式即可．

解答： 解：（1）由已知f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，因為a＜0，所以當x＞0時，f′（x）＞0，即原函數(shù)在（0，+∞）上遞增．
則f（x）在[1，e]遞增，故f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（e）=e-a．所以1+e-a=2+e，解得a=-1．
（2）h（x）=x-alnx-

a-1

x

，定義域為（0，+∞）．
所以h′(x)=1-

a

x

+

a-1

x2

=

x2-ax+(a-1)

x2

．
因為x²＞0，所以令g（x）=x²-ax+（a-1）=[x-（a-1）]（x-1）．
①當a-1≤0時，在（a-1，1）上，g（x）＜0，在（1，+∞）上，g（x）＞0，所以原函數(shù)h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增；
②當0＜a-1≤1時，在（0，a-1）上，g（x）＞0，在（a-1，1）上，g（x）＜0，在（1，+∞）上，g（x）＞0．
故原函數(shù)h（x）在（0，a-1）上遞增，在（a-1，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
③當a-1＞1時，在（0，1）上g（x）＞0，在（1，a-1）上g（x）＜0，在（a-1，+∞）上g（x）＞0．
故原函數(shù)h（x）在（0，1）上遞增，在（1，a-1）上遞減，在（a-1，+∞）上遞增．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)如何研究函數(shù)的單調(diào)性．一般要先研究函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)大于0或小于零列不等式，含有參數(shù)的要注意分類討論．