Question

函數(shù)y=3x-x³，x∈[0，3]的值域是________．

Answer 1

[-18，2]
分析：求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出極值與端點(diǎn)函數(shù)值，即可得到結(jié)論．
解答：求導(dǎo)函數(shù)可得：y′=3-3x²=3（1+x）（1-x）
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，y′＞0；當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，y′＜0，
∴函數(shù)在[0，1]上單調(diào)增，[1，3]上單調(diào)減
∴函數(shù)在x=1時(shí)，取得最大值3-1=2；
∵函數(shù)在x=0時(shí)，函數(shù)值為0；函數(shù)在x=3時(shí)，函數(shù)值為-18
∴函數(shù)在x=3時(shí)，函數(shù)取得最小值為-18
∴函數(shù)y=3x-x³，x∈[0，3]的值域是[-18，2]．
故答案為：[-18，2]
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性．