Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率e=$\frac{1}{2}$，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線l：y=kx+m（k∈R），使其與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，且得到c=1，結(jié)合離心率及隱含條件求得a，b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0可得3+4k²＞m²．利用根與系數(shù)的關(guān)系求得兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合OA⊥OB列式可得${k}^{2}=\frac{7}{12}{m}^{2}-1$．與3+4k²＞m²聯(lián)立即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，
依題意得：e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$且a-c=1，解得c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）存在直線l，使得OA⊥OB成立．
事實(shí)上：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
則△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化簡(jiǎn)得：3+4k²＞m²．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$．
∴$（1+{k}^{2}）•\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-km•\frac{8km}{3+4{k}^{2}}+{m}^{2}=0$．
化簡(jiǎn)得：7m²=12+12k²，即${k}^{2}=\frac{7}{12}{m}^{2}-1$．
代入3+4k²＞m²，得${m}^{2}＞\frac{3}{4}$．
又由7m²=12+12k²≥12，得${m}^{2}≥\frac{12}{7}$，從而得$m≥\frac{2\sqrt{21}}{7}$或m$≤-\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴m的取值范圍是（-∞，-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．