Question

8．觀察下列式子：
$\begin{array}{l}1+\frac{1}{2^2}＜1+\frac{1}{2}\\ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}＜1+\frac{2}{3}\\ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}＜1+\frac{3}{4}\end{array}$
根據(jù)以上式子可以猜想：1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}$＜1+$\frac{n-1}{n}$（n≥2）．

Answer 1

分析 根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是n+1個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)規(guī)律，
不等式的左邊是n+1個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，
右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以第n個(gè)不等式應(yīng)該為1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{{1}^{\;}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{n-1}{n}$．
故答案為：1+$\frac{n-1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．