Question

20．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有①③④．
①若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$則有$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$；
③若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$是空間的一組基底，且$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，則A，B，C，D四點共面；
④若向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$，是空間一組基底，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$也是空間的一組基底．

Answer 1

分析 根據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析選擇．

解答 解：①若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個向量為共線向量，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；故①正確；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$不確定；故②錯誤；
③若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$是空間的一組基底，則A，B，C三點不共線，且$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，由空間向量基本定理得到A，B，C，D四點共面；故③正確；
④若向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$，是空間一組基底，則空間任何一個向量$\overrightarrow173919v$，存在唯一的實數(shù)組（x，y，z），$\overrightarrowttlfddl=x（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）+y（\overrightarrow+\overrightarrow{c}）+z（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}）$=$（x+z）\overrightarrow{a}+（x+y）\overrightarrow+（y+z）\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$也是空間的一組基底；故④正確；
故答案為：①③④．

點評 本題考查了空間向量基本定理；理解掌握定理是解答的關(guān)鍵．