【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)為拋物線上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),直線交拋物線于另一點(diǎn),連結(jié),并延長(zhǎng),分別交拋物線與點(diǎn),.

1)當(dāng)軸時(shí),求直線軸的交點(diǎn)的坐標(biāo);

2)設(shè)直線,的斜率分別為,,試探索是否為定值?若是,求出此定值;若不是,試說(shuō)明理由.

【答案】14,0);(2)是定值,

【解析】

1)由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo),得到直線MN的方程,代入拋物線方程求出M、N的坐標(biāo),由兩點(diǎn)式求得直線ME的方程,和拋物線方程聯(lián)立解得P點(diǎn)坐標(biāo),同理求得Q點(diǎn)坐標(biāo),則直線PQ的方程可求,直線PQx軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可求;

2)分別設(shè)Mx1,y1),Nx2y2),Px3y3),Qx4,y4),再設(shè)直線MNMP、NQ的直線方程,分別和拋物線方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系得到y32y2,x34x2,y42y1x44x1.代入斜率公式整理得答案.

1)拋物線Cy24x的焦點(diǎn)F1,0).

當(dāng)MNOx時(shí),直線MN的方程為 x1

x1代入拋物線方程y24x,得y=±2

不妨設(shè)M1,2),N(﹣12),

則直線ME的方程為y=﹣2x+4,

,解得x1x4,于是得P4,﹣4).

同理得Q4,4),所以直線PQ的方程為x4

故直線PQx軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(4,0);

2)設(shè)直線MN的方程為xmy+1

并設(shè)Mx1,y1),Nx2,y2),Px3,y3),Qx4,y4).

,得y24my40

于是y1y2=﹣4 ,從而

設(shè)直線MP的方程為xmy+2,

,得y24my80

y1y3=﹣8 ,x1x34

設(shè)直線NQ的方程為xty+2

,得y24ty80,

于是y2y4=﹣8 ,x2x44

①②③④⑤⑥,得y32y2,x34x2y42y1,

x44x1,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交橢圓、兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的平行線交橢圓、兩點(diǎn).

①是否存在常數(shù)滿足?若存在,求出這個(gè)常數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

②若的面積為的面積為,,求的最大值.

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