Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x-1}$．
（1）證明：f（x）在區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)；
（2）若實數(shù)m滿足f（m²）＞f（m+6）＞1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性的定義直接證明．
（2）利用（1）區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)，解不等式．

解答 解：（1）證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，
則有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}-\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{1}（{x}_{2}-1）-{x}_{2}（{x}_{1}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，∴（x₁-1）（x₂-1）＞0，
所以：f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
因此：f（x）在區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)；
得證
（2）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x-1}$．
?f（x）=$\frac{x-1+1}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$
∴當(dāng)x＞1時，則f（x）＞1，
  當(dāng)x＜1時，則f（x）＜1，
由（1）可知f（x）在區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)；
∴有1＜m²＜m+6
解得：1＜m＜3
∴m的取值范圍是1＜m＜3．

點評 本題考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性的定義法證明試題和利用單調(diào)性解決不等式的問題．屬于基礎(chǔ)題．